Generar un movimiento Browniano usando puentes Brownianos

BrownianBridge

Supongamos que conocemos la posición de un movimiento Browniano a los tiempos u y t, W(u)=x y W(t)=y, entonces la distribución del movimiento Browniano condicionado a este hecho se le conoce como puente Browniano para los tiempos u<s<t. Más aun, la distrbución de la variable W(s)|W(u)=x, W(t)=y es normal con parámetros

\mu=\frac{(t-s)x+(s-u)y}{t-u}

\sigma^2=\frac{(s-u)(t-s)}{(t-u)}

Como el objetivo es simular trayectorias del movimiento en un segmento [0, T] se puede hacer lo siguiente. Primero generar un valor para W(T) para después tomar el punto medio, T/2, y ahí generar un nuevo valor a partir del hecho que en el tiempo 0 y T ya se conoce la posición del movimiento Browniano, es decir el nuevo valor sigue la distribución del puente Browniano. Después seguir este procedimiento en cada una de las dos partes que se forman, [0,T/2] y [T/2,T], y continuar así tantas veces como se desee.

El algoritmo Metropolis-Hastings

Desde el punto de vista de simulación estocástica un problema muy común es el de simular un variable aleatoria con una distribución dada \pi(x) sobre \mathcal{S}, si bien es cierto que hay varios métodos para hacer esto, resultan insuficientes.

En este sentido Nicolas Metropolis (1953) propuso un algoritmo el cual se basa en la construcción de una cadena de Markov , {\bf X}=(X_n), ergódica la cual tenga a \pi(x) como distribución estacionaria. Bajo estas condiciones se tiene que

\frac{N_x(n)}{n}\longrightarrow\pi(x)        casi seguramente,

donde N_x(n) es el número de visitas a x hasta el tiempo n. Por lo cual basta con generar la cadena de Markov  {\bf X} y a partir de cierto momento los valores generados tendrán una distribución muy parecida a \pi(x). Sigue leyendo

ggPlot y funciones de distribución

R además de ser un estupendo software estadístico es capaz de generar gráficos muy elegantes gracias al paquete ggPlot.

Consideremos cierta máquina la cual puede fallar algunos días a la semana. La información obtenida al monitorear su funcionamiento por un año es el siguiente.

  • 9 semanas no falló,
  • 14 semanas falló un día,
  • 13 semanas falló dos días,
  • 9 semanas falló tres días,
  • 4 semanas falló cuatro días,
  • 2 semanas falló cinco días,
  • 1 semana no funcionó ninguno de los seis días.

Lo primero que haremos es definir el muestreo que obtuvimos de ver el número de días a la semana que la máquina se encontraba descompuesta y la proporción que representa del total de semanas observadas.

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Método Monte Carlo

El Método Monte Carlo es un método numérico para simular sistemas físicos o matemáticos la virtud de esté método radica en un eficacia mayor a los usuales debido que hace uso de métodos aleatorios.

Rayleigh-Taylor Stability

Uno de los principales usos de este método es la integración consiste en tratar de obtener el valor

\mu=\int f(x) dV

para lo cual se generan variables aleatorias X_1,X_2,\dots independientes con densidad V, por lo que la ecuación anterior es igual a \mathbb{E}f(X_i)=\mu, y por lo tanto, por la ley de los Grandes Números, se sigue que

\frac{\sum_{i=1}^n f(X_i)-n\mu}{n}=\frac{\sum_{i=1}^n f(X_i)}{n}-\mu\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} 0\qquad \mbox{c.s.}. Sigue leyendo