Desde el punto de vista de simulación estocástica un problema muy común es el de simular un variable aleatoria con una distribución dada sobre
, si bien es cierto que hay varios métodos para hacer esto, resultan insuficientes.
En este sentido Nicolas Metropolis (1953) propuso un algoritmo el cual se basa en la construcción de una cadena de Markov , , ergódica la cual tenga a
como distribución estacionaria. Bajo estas condiciones se tiene que
casi seguramente,
donde es el número de visitas a
hasta el tiempo
. Por lo cual basta con generar la cadena de Markov
y a partir de cierto momento los valores generados tendrán una distribución muy parecida a
.
Pero, ¿cómo construir estás cadena?, es aquí donde está el gran mérito de N. Metropolis. Su propuesta fue generar una cadena de la siguiente manera.
Supongamos que podemos generar una cadena de Markov con transición simétrica . Definimos
como sigue:
para algún
en
.
- Para
. Si
- Generar
a partir de
,
- calcular
,
- sea
la variable que toma el valor
con probabilidad
y
con probabilidad
.
- Generar
Por lo tanto es una cadena de Markov reversible con espacio de estados
y función de transición dada por
.
Esta cadena tiene como distribución estacionaria a (Ejercicio) por lo cual basta generar un número suficiente de iteraciones para poder tener números generados por tal distribución.
Ejemplo: Queremos generar una números aleatorios con distribución beta (2.7,6.3). La cadena de Markov que podemos generar va a ser variables aleatorias con distribución uniforme en (0,1) y también vemos que el valor
es fácil de calcular ya que este es
Nótese que es el intervalo [0,1], por lo que la cadena de Markov tiene espacio de estados no numerable. Si bien pareciera este un cambio muy pequeño fue necesario construir mucha teoría para formalizar la convergencia y existencia de este método.
Esto lo podemos implementar de manera fácil en R y además podemos visualizar la densidad empírica de nuestra simulación.
Casella, G and Robert, C. Introducing Monte Carlo Methods with R (Use R)
Hoel, P; Port, S and Stone, C. Introduction to Stochastic Processes